上一节：【高等数学】 第一章 函数与极限——第十节 闭区间上连续函数的性质 总目录：【高等数学】 目录
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1. 引例2. 导数的定义3. 常用导数公式4. 单侧导数5. 导数的几何意义6. 函数可导性与连续性的关系
1. 引例
直线运动的速度 位置函数
s
=
f
(
t
)
s=f(t)
s=f(t) 平均速度
v
‾
=
s
−
s
0
t
−
t
0
=
f
(
t
)
−
f
(
t
0
)
t
−
t
0
\overline{v}=\dfrac{s-s_0}{t-t_0}=\dfrac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}
v=t−t0s−s0=t−t0f(t)−f(t0) 瞬时速度
v
=
lim
t
→
t
0
f
(
t
)
−
f
(
t
0
)
t
−
t
0
v=\lim_{t\rightarrow t_0}\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}
v=t→t0limt−t0f(t)−f(t0)切线问题 割线斜率
tan
ϕ
=
y
−
y
0
x
−
x
0
=
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
\tan \phi=\dfrac{y-y_0}{x-x_0}=\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
tanϕ=x−x0y−y0=x−x0f(x)−f(x0) 切线斜率
k
=
tan
α
=
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
k=\tan \alpha=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
k=tanα=x→x0limx−x0f(x)−f(x0)
2. 导数的定义
设函数
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)在点
x
0
x_0
x0的某个邻域内有定义，当自变量
x
x
x在
x
0
x_0
x0处取得增量
Δ
x
\Delta x
Δx（点
x
0
+
Δ
x
x_0+\Delta x
x0+Δx仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量
Δ
y
=
f
(
x
0
+
Δ
x
)
−
f
(
x
0
)
\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)
Δy=f(x0+Δx)−f(x0) 如果
Δ
y
\Delta y
Δy与
Δ
x
\Delta x
Δx之比当
Δ
x
→
0
\Delta x\rightarrow 0
Δx→0时的极限存在 那么称函数
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)在点
x
0
x_0
x0处可导，并称这个极限为函数
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)在点
x
0
x_0
x0处的导数，记为
f
′
(
x
0
)
f'(x_0)
f′(x0) 即
f
′
(
x
0
)
=
lim
Δ
x
→
0
Δ
y
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
0
+
Δ
x
)
−
f
(
x
0
)
Δ
x
f'(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}
f′(x0)=Δx→0limΔxΔy=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0) 也可记作
y
′
∣
x
=
x
0
,
d
y
d
x
∣
x
=
x
0
或
d
f
(
x
)
d
x
∣
x
=
x
0
y'|_{x=x_0},\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}或\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_0}
y′∣x=x0,dxdy∣x=x0或dxdf(x)∣x=x0 函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
0
x_0
x0处可导有时也说成
f
(
x
)
f(x)
f(x)在点
x
0
x_0
x0具有导数或导数存在
导数的定义式也可取其他的形式，常见的有
f
′
(
x
0
)
=
lim
h
→
0
f
(
x
0
+
h
)
−
f
(
x
0
)
h
(
h
=
Δ
x
)
f'(x_0)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}(h=\Delta x)
f′(x0)=h→0limhf(x0+h)−f(x0)(h=Δx)和
f
′
(
x
0
)
=
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
f'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
f′(x0)=x→x0limx−x0f(x)−f(x0)因变量增量与自变量增量之比是因变量
y
y
y在以
x
0
x_0
x0和
x
0
+
Δ
x
x_0+\Delta x
x0+Δx为端点的区间上的平均变化率，而导数
f
′
(
x
0
)
f'(x_0)
f′(x0)则是因变量
y
y
y在点
x
0
x_0
x0处的瞬时变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度如果导数定义式中的极限不存在，就说函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在点
x
0
x_0
x0处不可导，如果不可导的原因是极限值为无穷大，为了方便起见，也往往说函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在点
x
0
x_0
x0处的导数为无穷大导函数 如果函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在开区间
I
I
I内的每点处都可导 则称函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在开区间
I
I
I内可导 对于任一
x
∈
I
x\in I
x∈I，都对应着
f
(
x
)
f(x)
f(x)一个确定的导数值，这样就构成了导函数，记作
f
′
(
x
)
,
d
y
d
x
或
d
f
(
x
)
d
x
f'(x),\dfrac{dy}{dx}或\dfrac{df(x)}{dx}
f′(x),dxdy或dxdf(x)
f
′
(
x
0
)
=
f
′
(
x
)
∣
x
=
x
0
f'(x_0)=f'(x)|_{x=x_0}
f′(x0)=f′(x)∣x=x0 导函数简称导数，而
f
′
(
x
0
)
f'(x_0)
f′(x0)是
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
0
x_0
x0的导数或导数
f
′
(
x
)
f'(x)
f′(x)在
x
0
x_0
x0处的值
3. 常用导数公式
(
C
)
′
=
0
(C)'=0
(C)′=0
(
x
μ
)
′
=
μ
x
μ
−
1
(x^\mu)'=\mu x^{\mu-1}
(xμ)′=μxμ−1
(
x
)
′
=
(
x
1
2
)
′
=
1
2
x
(\sqrt x)'=(x^{\frac{1}{2}})'=\dfrac{1}{2\sqrt x}
(x
)′=(x21)′=2x
1
(
1
x
)
′
=
(
x
−
1
)
′
=
−
1
x
2
(\dfrac{1}{x})'=(x^{-1})'=-\dfrac{1}{x^2}
(x1)′=(x−1)′=−x21
(
sin
x
)
′
=
cos
x
(\sin x)'=\cos x
(sinx)′=cosx
(
cos
x
)
′
=
−
sin
x
(\cos x)'=-\sin x
(cosx)′=−sinx
(
a
x
)
′
=
a
x
ln
a
(a^x)'=a^x\ln a
(ax)′=axlna
(
e
x
)
′
=
e
x
(e^x)'=e^x
(ex)′=ex
(
log
a
x
)
′
=
1
x
ln
a
(\log_ax)'=\dfrac{1}{x\ln a}
(logax)′=xlna1
(
ln
x
)
′
=
1
x
(\ln x)'=\dfrac{1}{x}
(lnx)′=x1
4. 单侧导数
导数对应的左、右极限
lim
h
→
0
−
f
(
x
0
+
h
)
−
f
(
x
0
)
h
\lim_{h\rightarrow 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
h→0−limhf(x0+h)−f(x0)和
lim
h
→
0
+
f
(
x
0
+
h
)
−
f
(
x
0
)
h
\lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
h→0+limhf(x0+h)−f(x0)分别称为函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
0
x_0
x0处的左导数和右导数，记作
f
−
′
(
x
0
)
f'_-(x_0)
f−′(x0)和
f
+
′
(
x
0
)
f'_+(x_0)
f+′(x0)，即
f
−
′
(
x
0
)
=
lim
h
→
0
−
f
(
x
0
+
h
)
−
f
(
x
0
)
h
f
+
′
(
x
0
)
=
lim
h
→
0
+
f
(
x
0
+
h
)
−
f
(
x
0
)
h
f'_-(x_0)=\lim_{h\rightarrow 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\\ f'_+(x_0)=\lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
f−′(x0)=h→0−limhf(x0+h)−f(x0)f+′(x0)=h→0+limhf(x0+h)−f(x0)
函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
0
x_0
x0处可导的充分必要条件是左导数
f
−
′
(
x
0
)
f'_-(x_0)
f−′(x0)和右导数
f
+
′
(
x
0
)
f'_+(x_0)
f+′(x0)都存在且相等左导数和右导数统称单侧导数如果函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在开区间
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b)内可导，且
f
−
′
(
b
)
f'_-(b)
f−′(b)和
f
+
′
(
a
)
f'_+(a)
f+′(a)都存在，那么就说
f
(
x
)
f(x)
f(x)在闭区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]上可导
5. 导数的几何意义
函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在点
x
0
x_0
x0处的导数
f
′
(
x
0
)
f'(x_0)
f′(x0)在几何上表示曲线
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)在点
(
x
0
,
f
(
x
0
)
)
(x_0,f(x_0))
(x0,f(x0))处的切线的斜率，即
f
′
(
x
0
)
=
tan
α
f'(x_0)=\tan \alpha
f′(x0)=tanα其中
α
\alpha
α是切线的倾角
f
(
x
)
f(x)
f(x)在点
(
x
0
,
y
0
)
(x_0,y_0)
(x0,y0)处的切线方程为
y
−
y
0
=
f
′
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)
y−y0=f′(x0)(x−x0)
f
(
x
)
f(x)
f(x)在点
(
x
0
,
y
0
)
(x_0,y_0)
(x0,y0)处的法线方程为
y
−
y
0
=
−
1
f
′
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
(
f
′
(
x
0
)
≠
0
)
y-y_0=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)(f'(x_0)\ne 0)
y−y0=−f′(x0)1(x−x0)(f′(x0)=0)
6. 函数可导性与连续性的关系
可导一定连续 如果函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在点
x
0
x_0
x0处可导，那么函数在该点必连续
f
′
(
x
0
)
=
lim
Δ
x
→
0
Δ
y
Δ
x
⇔
Δ
y
=
f
′
(
x
0
)
Δ
x
+
α
Δ
x
⇔
lim
Δ
x
→
0
Δ
y
=
0
f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\Lrarr\Delta y=f'(x_0)\Delta x+\alpha\Delta x\Lrarr\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Delta y=0
f′(x0)=Δx→0limΔxΔy⇔Δy=f′(x0)Δx+αΔx⇔Δx→0limΔy=0
连续不一定可导 反例——
y
=
∣
x
∣
y=|x|
y=∣x∣和
y
=
x
3
y=\sqrt[3]{x}
y=3x
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